Iskazni račun je deo savremene logike koja se počela razvijati u drugoj polovini 19. veka sa radovima Džordža Bula, Avgustina De Morgana i Gotliba Fregea, a nastavila da se uobličava u 20. veku kroz radove Ludviga Vitgenštajna, Jana Lukašijeviča, Alfreda Tarskog i mnogobrojnih drugih logičara.

Za razliku od klasične logike, u iskaznom računu se ne ulazi u pojmove od kojih se iskazi sastoje da bi se na taj način utvrdilo da li je neko zaključivanje ispravno. Ovde se prosti iskazi uzimaju kao neraščlanjene celine, kod kojih nam je važna samo njihova istinitosna vrednost. Od ovih iskaza kasnije nastaju složeni iskazi precizno definisanim logičkim operacijama.

Iskazni račun je prvenstveno način pomoću koga možemo da, znajući istinitosnu vrednost prostih iskaza, izračunamo istinitosnu vrenost složenih iskaza. Pravila ovog izračunavanja zovemo iskazna algebra.

Proste iskaze u iskaznom računu obeležavamo slovima p,q,r… (ređe A, B, C…) koje nazivamo iskazne promenljive. Složeni iskazi nastaju kada se prosti iskazi povežu logičkim veznicima, odnosno, kada se na njih primene logičke operacije. Postoji 5 osnovnih logičkih operacija: negacija, konjukcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija. Ima i drugih, ali su ove osnovne.

Negacija je unarna operacija, pošto je dovoljan jedan iskaz da bi se ona primenila, a ostale operacije su binarne, odnosno, primenjuju se na najmanje dva iskaza.

Složene formule iskaznog računa su dakle p v q, ili (p ∙ q) ∙ r ili (p → q) ∙ (p ∙ q) itd.

Sada ćemo običnim jezikom objasniti logičke operacije.

Negacija ( znak ¬ ) je logička operacija koja daje iskaz suprotne istinitosne vrenosti od početnog iskaza: na primer, od iskaza „Atomi su nedeljive čestice“ negacijom nastaje iskaz „Atomi nisu nedeljive čestice“. Iskaz i njegova negacija ne mogu istovremeno biti istiniti. Ako je neki izskaz istinit, njegova negacija je neistinita, ako je iskaz neistinit njegova negacija je istinita.

Konjukcija (znak  obrnuto V ili ∙ ) je logička operacija koja je u običnom jeziku izražena veznikom „i“. Kada kažemo: „Brazil je u Južnoj Americi i petostruki je prvak sveta u fudbalu“ ova složena tvrdnja biće prihvatljiva samo ako su obe tvrdnje koje su njeni članovi istinite.

Disjunkcija ( znak  V) je način da tvrdimo dve tvrdnje, podrazumevajući da je bar jedna od njih istinita, s tim da je moguće da budu i obe. Na primer: „On je osvajač zlatne medalje u slalomu ili u veleslalomu (a možda i u obe discipline)“. Isključujuća disjunkcija (znak podvučeno V) je tačna ako je bar jedna tvrdnja u disjunkciji tačna, s tim da je netačna ako su obe tvrdnje uzete kao tačne: na primer, „On je otišao ili na sever ili na jug“ je takva tvrdnja.

Implikacija (znak → , odnosno, dve vodoravne crte sa strelicom na kraju) je veza između dve tvrdnje kojom želimo reći da jedan iskaz sledi iz drugog. Ona je netačna samo ako ovaj zahtev nije ispunjen, dakle ako iz nekog tačnog iskaza izvedemo netačan iskaz. U svim drugim slučajevima je tačna. To znači da netačan iskaz može slediti samo iz netačnog iskaza, a da tačan može slediti ili iz tačnog iskaza ili slučajno i iz netačnog iskaza. Drugi način da u svakodnevnom jeziku izrazimo implikaciju je da kažemo da je jedan iskaz „dovoljan razlog“ da tvrdimo drugi iskaz, ili da jedan iskaz „implicira“ drugi. Pri tom važi da ako je p dovoljan razlog za q, onda je q potreban razlog za p, jer ako je q netačno, i p mora biti netačno.

Ekvivalencija (znak =, odnosno, znak jednakosti sa strelicama u oba smera) je ona logička operacija na iskazima kojom se dobija iskaz koji je tačan samo ako oba iskaza u ekvivalenciji imaju istu istinitosnu vrednost. Dakle, ekvivaentni iskazi su takvi da nije moguće da jedan od njih bude tačan, a drugi netačan.

Kada jednom definišemo logičke operacije, od njihove definicije kasnije zavisi istinitosna vrednost iskaza koji u sebi sadrže te operacije. Ti iskazi mogu imati razne istinitosne vrednosti, a zadatak iskaznog računa je da ih utvrdi.

Ako je neki iskaz uvek tačan, on opisuje neki zakon logike, odnosno, način razmišljanja koji možemo primeniti u bilo kojoj drugoj nauci, odnosno, ako se bavimo bilo kojom drugom temom.

Ključne reči: prosti i složeni iskazi, logičke promenljive, logički veznici, logičke operacije, negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija, Bulova algebra

Rezime: Iskazni račun je opisan kao način za baratanje sa iskazima izraženim simboličkim jezikom. U okviru iskaznog računa upoznajemo se sa pravilima pomoću kojih mođemo znati istinitosnu vrednost skoženih iskaza ako znamo istinitosnu vrednost prostih iskaza u njima. Glavne logičke operacije u iskaznom računu su: negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija.

Vežbanja:
Razmislimo zbog čega logičke operacije daju iskaze sa istinitosnim vrednostima nevedenim u lekciji:

1) Veznik “i”
Stav: “Išli smo na izlet i bilo je sunčano”

Da li je ovaj stav istinit ili lažan? Upišite T za istinit i ┴ za neistinit:

a) Ako smo zaista išli na izlet po sunačnom danu ___________
b) Ako smo išli na izlet ali je padala kiša ___________
c) Ako je bilo sunčano, mada nismo išli na izlet ___________
d) Ako je padala kiša i nismo išli na izlet ___________

2) Veznik “ili”

Stav: “Na izletu smo bili u muzeju ili u galeriji (a možda i na oba mesta)”

Proverite da li je stav istinit ili lažan:

a) Ako smo bili u muzeju i u galeriji ___________
b) Ako smo bili u muzeju, ali ne i u galeriji ___________
c) Ako smo bili samo u glaeriji, a ne i u muzeju ___________
d) Ako nismo bili ni u muzeju ni u galeriji ___________

Veznik “ili…ili” (isključujuća diskjunckija)

Stav: “On je svirao ili klavir ili gitaru, ali ne i oba”
Proverite da li je stav itsinit ili lažan:
a) Ako je svirao i klavir i gitaru ____________
b) Ako je svirao klavir, ali ne i gitaru ____________
c) Ako je svirao samo gitaru, a ne i klavir ____________
d) Ako nije svirao ni klavir ni gitaru ____________

3) Veznik “ako….onda”

Stav: “Ako zagrevamo vodu, onda će ona proključati”

Proverite da li je pokazano da je ovaj stav neistinit (stavite T, ako nije pokazano, a ┴ ako jeste pokazano):

a) Ako smo zagrevali vodu i ona je proključala __________
b) Ako smo zagrevali vodu, ali nije bilo ključanja __________
c) Ako nismo zagrevali vodu, a ona je ipak proključala __________
d) Ako nismo zagrevali vodu i ona nije proključala __________

4) Veznik “ako i samo ako”

Stav: “Pitagorina teorema važi ako i samo ako je trougao pravougli”
Proverite da li je pokazano da je stav neistinit (stavite T, ako nije pokazano, a ┴ ako jeste pokazano):

a) Ako je trougao pravougli i za njega važi Pitagorina teorema _________
b) Ako je trougao pravougli, ali kvadrat nad hipotenuzom nije jednak zbiru kvadrata nad katetama __________
c) Ako Pitagorina teorema važi, ali trougao nije pravougli __________
d) Ako trougao nije pravougli i za njega ne važi Pitagorina teorema __________

Razmotrite još nekoliko vlastitih primera.

Antrfile:

Džordž Bul

Džordž Bul (George Boole, 1815-1864) je jedan od začetnika matematičke ili simboličke logike. On je predložio da se logički zakoni koji su do tada bili iskazivani svakodnevnim jezikom izraze kao matematičke jednačine. Sada je rečenica “Smit je naučnik i pronalazač” mogla da se napiše kao p•q, gde je p oznaka za “Smit je naučnik” a q za “Smit je pronalazač”. Uvođenjem drugih logičkih operacija razvila se takozvana Bulova algebra, odnosno, algebra logike. Najpoznatija Bulova dela su Zakoni mišljenja (The Laws of Thought) i Matematička analiza logike (Mathematical Analysis of Logic). Bulova algebra kasnije je postala jedna od osnova kompjuterskih nauka i programiranja.