Iskazni račun, Logika

Metoda svođenja na protivrečnost

Comments Off on Metoda svođenja na protivrečnost 27 September 2014

Do sada smo se upoznali sa dva načina određivanja da li je neka formula tautologija ili nije. Prvi način je metoda istinitosnih tablica (u kojoj naprosto izračunamo vrednost formule za sve moguće kombinacije istinitosnih vrednosti iskaznih promenljivih) a druga je metoda svođenja na normalnu formu u kojoj složenu formulu najpre pojednostavljujemo u normalnu formu, a onda u njoj tražimo tautologije i kontradikcije koje možemo skratiti.

Sada ćemo upoznati još dva načina da se dokaže da je neka formula tautologija. Prvi je metoda svođenja na protivrečnost. Ona se sastoji u tome da najpre pretpostavimo da neka formula nije tautologija, odnosno da je barem u jednom slučaju netačna. Onda iz te pretpostavke izvodimo logičke posledice i zatim, ako uočimo da te posledice uključuju dva protivrečna iskaza, zaključujemo da početna pretpostavka nije tačna, odnosno da formula jeste tautologija.

Metoda svođenja na protivrečnost se zasniva na stavu koji kaže da ako se iz nekog stava mogu izvesti dva protivrečna stava (dakle, nešto što je po definiciuji netačno) i taj početni stav mora biti netačan, inače bi se kršilo osnovno pravilo zaključivanja da iz tačnih pretpostavki moraju slediti tačne posledice, a netačne samo iz netačnih.

Uzmimo neku formulu, na primer:

((p → q) → p) → p

Sada, dakle, pretpostavimo da je ona netačna, a onda zaključujemo dalje:

Ako je ova formula implikacija, ona je natačna samo u slučaju da je prvi član implikacije tačan, a drugi netačan, dakle

p = ┴

i ((p → q) → p) = ┬

međutim, kada dobijenu vrednost za p zamenimo u ovoj formuli

((┴ → q) → ┴)

i izračunamo vreednost u zagradi, a zatim i vrednost implikacije

(┬ → ┴) = ┴

dalazimo do toga da je vrednost formule ((p → q) → p) = ┴ dok je malopre ta vrednost bila ┬, što je protivrečnost, odakle zaključujemo da je početna pretpostavka da je formula nekada netačna, netačna, što znači, da je formula uvek tačna, odnosno da je tautologija, što predstavlja i dokaz da je to tako.

Metoda svođenja na protivrečnost koristi se često u matematici. U logici sva pravila izvođenja u iskaznom računu mogu se dokazati ako se pretpostavi da je metoda svođenja na protivrečnost ispravna.

Primeri za vežbu metode svođenja na protivrečnost:

p → (p v q)

((p → q) →p) →p

((p → q) → (¬q → ¬p)

((p → q) ∙ p) → q    modus ponens

((p → q) ∙ ¬q) → ¬p   modus tollens

¬p → (p → q)

(p → (q → r)) → ((p → q) → (p →r))

(p → q) → ((q → r) → (p →r))

(u lekciji je znak za konjukciju ∙, za ekvivalenciju =, a za implikaciju →)

SHARES
Share on FacebookShareTweet on TwitterTweet

Comments are closed.

© 2017 Kratka istorija filozofije. Powered by WordPress.

Daily Edition Theme by WooThemes - Premium WordPress Themes

%d bloggers like this: